การแนะนำ
ฝึกฝนบทเรียนนี้ด้วยตัวเองKhanAcademy.orgตอนนี้:www.khanacademy.org/math/differential-equations/first-order-differential-equations/separable-equations/e/separable-differential-equations
พลาดบทเรียนที่แล้ว?
www.khanacademy.org/math/differential-equations/first-order-differential-equations/differential-equations-intro/v/differential-equation-from-slope-field
สมการเชิงอนุพันธ์ใน Khan Academy: สมการเชิงอนุพันธ์ สมการที่แยกได้ สมการที่แน่นอน ตัวประกอบการอินทิเกรต สมการเอกพันธ์
เกี่ยวกับ Khan Academy: Khan Academy เสนอแบบฝึกหัด วิดีโอแนะนำ และแดชบอร์ดการเรียนรู้ส่วนบุคคลที่ช่วยให้ผู้เรียนสามารถเรียนตามจังหวะของตนเองทั้งในและนอกห้องเรียน เราเรียนคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ การเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ ประวัติศาสตร์ ประวัติศาสตร์ศิลปะ เศรษฐศาสตร์ และอื่นๆ ภารกิจทางคณิตศาสตร์ของเราแนะนำผู้เรียนตั้งแต่ชั้นอนุบาลไปจนถึงแคลคูลัสโดยใช้เทคโนโลยีที่ทันสมัยและปรับเปลี่ยนได้ ซึ่งระบุจุดแข็งและช่องว่างในการเรียนรู้ เรายังร่วมมือกับสถาบันต่างๆ เช่น NASA, The Museum of Modern Art, The California Academy of Sciences และ MIT เพื่อนำเสนอเนื้อหาเฉพาะทาง
ฟรี. สำหรับทุกคน. ตลอดไป. #คุณสามารถเรียนรู้อะไรก็ได้
สมัครสมาชิกช่องสมการเชิงอนุพันธ์ของ KhanAcademy::www.youtube.com/channel/UCxSQHGkaDv8UKXE0TUbsOIg
สมัครสมาชิก KhanAcademy:www.youtube.com/subscription_center
วิดีโอ
ตอนนี้เราได้ใช้เวลาคิดเกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์และแม้กระทั่งการดูคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์โดยใช้สิ่งต่างๆ เช่น สนามช้า เรามาเริ่มดูว่าเราสามารถแก้สมการเชิงอนุพันธ์ได้จริงหรือไม่ และเราจะเห็นอนุพันธ์ประเภทต่างๆ สมการอาจต้องใช้เทคนิคที่แตกต่างกัน และบางสมการเราอาจจะไม่สามารถแก้ได้เลยโดยใช้เทคนิคการวิเคราะห์
เราต้องใช้เทคนิคตัวเลขเพื่อประมาณการคำตอบ
แต่มาดูกันว่าสิ่งที่ผมจะโต้แย้งคือสมการเชิงอนุพันธ์รูปแบบที่ง่ายที่สุดในการแก้ และนั่นคือสิ่งที่เรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์เชิงอนุพันธ์ที่แยกออกจากกัน และเราจะเห็นในอีกไม่กี่วินาทีว่าทำไมมันถึงเรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์ที่แยกออกจากกัน
สมมติว่าเรามี
อนุพันธ์ของ y เทียบกับ x เท่ากับลบ x ส่วน y e กำลัง x กำลังสอง
เราก็มีสมการเชิงอนุพันธ์นี้ และเราต้องการหาคำตอบเฉพาะที่ผ่านจุดนั้น
ไปที่จุด: 0 ลูกน้ำ 1. และฉันขอแนะนำให้คุณหยุดวิดีโอนี้ชั่วคราว ฉันจะ
ขอคำแนะนำหน่อยถ้าคุณสามารถหาด้านหนึ่งของสมการนี้โดยใช้พีชคณิต แยก y กับ d ys ออก และอีกด้านแยก x กับ dx ทั้งหมดออก แล้วอินทิเกรต
บางทีคุณอาจพบคำตอบเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีจุดนี้อยู่ก็ได้ หากคุณทำไม่ได้ ไม่ต้องกังวล เพราะเรากำลังดำเนินการแก้ไข
อย่างที่ผมบอก ลองใช้พีชคณิตสักหน่อยเพื่อหาค่า y และ d y ทั้งหมดที่อยู่ด้านหนึ่ง และ x และ d x ทั้งหมดอีกด้านหนึ่ง
วิธีหนึ่ง ถ้าผมอยากได้ สมมุติว่าผมอยากได้ y และ dys ทั้งหมดทางซ้าย, ทางซ้าย, ด้าน, และ x และ dx ทั้งหมด, ทางขวามือ, ด้าน
ผมคูณทั้งสองข้างด้วย y ได้ ผมก็คูณทั้งสองข้างด้วย y
นั่นมีผลของการใส่ y ไว้ทางซ้ายมือ แล้วผมก็คูณทั้งสองข้างด้วย dx
ผมคูณทั้งสองข้างด้วย dx และเราถือว่าคุณปฏิบัติกับอนุพันธ์เหล่านี้ เหมือนที่คุณปฏิบัติกับตัวแปร เมื่อคุณจัดการกับมันเพื่อแยกตัวแปรออกจากกัน ดังนั้นสิ่งนี้จะยกเลิกกับสิ่งนั้น เราจึงเหลือ .
เราจะเหลือ y d y y d y เท่ากับลบ x ที่จริง ขอผมเขียนแบบนี้นะ
ขอผมเขียนมันเป็นลบ x e
ที่จริง ผมอาจต้องการพื้นที่มากกว่านี้ ลบ x e กำลังลบ x กำลังสอง dx d x
ตอนนี้.
ทำไมถึงน่าสนใจ? เพราะเราสามารถอินทิเกรตทั้งสองด้านได้ และตอนนี้สิ่งนี้ก็เน้นว่าทำไมเราถึงเรียกสิ่งที่แยกจากกัน
คุณไม่สามารถทำได้กับสมการเชิงอนุพันธ์ทุกสมการ
คุณจะไม่สามารถแยก y กับ d y ที่อยู่ด้านหนึ่ง และ x กับ d x ที่อยู่อีกด้านหนึ่งในทางพีชคณิตไม่ได้ แต่อันนี้เราทำได้ และนั่นเป็นสาเหตุที่เรียกว่าสมการอนุพันธ์แบบแยกส่วน สมการอนุพันธ์เชิงอนุพันธ์ และมักจะเป็นเทคนิคแรกที่คุณควรลอง
เฮ้.
ฉันสามารถแยก y กับ x ได้ไหม และอย่างที่ฉันพูด นี่จะไม่จริงกับหลายๆ สมการอนุพันธ์ ถ้าไม่ใช่สมการเชิงอนุพันธ์ส่วนใหญ่ แต่ตอนนี้เราทำสิ่งนี้แล้ว เราสามารถอินทิเกรตทั้งสองข้างได้
ลองทำดู แล้วผมจะหาสีสวยๆ ที่จะอินทิเกรตด้วย ผมจะอินทิเกรต อินทิเกรตทั้งสองด้าน
ทีนี้ ถ้าคุณอินทิเกรตทางซ้ายมือ สิ่งที่คุณจะได้ และจำไว้ว่าเรากำลังอินทิเกรตเทียบกับ y ตรงนี้
นี่จะเท่ากับ y กำลังสองส่วน 2 และเราใส่ค่าคงที่ตรงนี้ได้
ผมเรียกมันว่าบวก c1 ได้ และถ้าคุณกำลังอินทิเกรตตอนนี้ มันจะเท่ากับตอนนี้ทางขวามือ เรากำลังอินทิเกรตเทียบกับ x
และมาดูกันว่าคุณสามารถเปลี่ยนตัวคุณหรือจำรูปลักษณ์นั้นได้
อนุพันธ์ของลบ x กำลังสอง จะเท่ากับลบ 2x
ถ้านั่นคือ 2 ตรงนั้น และถ้าคุณไม่ต้องการเปลี่ยนค่าของอินทิกรัล คุณก็ใส่ครึ่งนึงตรงนี้ และตอนนี้คุณแทนอย่างชัดแจ้งหรือทำในใจก็ได้ หรือ คุณตั้ง? ยูเท่ากับ? U เท่ากับลบ x กำลังสองแล้ว d? คุณจะเป็นลบ 2x dx หรือคุณสามารถคิดแบบนี้ในหัวของคุณ ณ จุดนี้ ผมก็มี
ฉันมีบางอย่างและมันเป็นอนุพันธ์ ดังนั้นฉันจึงสามารถอินทิเกรตเทียบกับสิ่งนั้นได้
คุณก็จะเท่ากับ, นี่จะเท่ากับครึ่งนึงของครึ่งนี่ตรงนี้, แอนติเดริเวทีฟ
นี่คือ e กำลังลบ x กำลังสอง แล้ว แน่นอน ผมอาจมีค่าคงที่อื่นก็ได้
เรียกมันว่า c, 2
และอีกครั้ง ถ้าส่วนนี้ตรงนี้ สิ่งที่ฉันเพิ่งทำดูแปลกไป การ: u การแทนที่! คุณอาจต้องการตรวจสอบชิ้นส่วนนั้นทันที
ฉันจะทำอะไรที่นี่ เราจะมีค่าคงที่ทางซ้ายมือ, ด้านข้าง, มันเป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ
เราไม่รู้ว่ามันคืออะไร
ฉันไม่ได้ใช้เงื่อนไขเริ่มต้นนี้ แต่เราสามารถเรียกมันได้
ขอผมลบ c1 จากทั้งสองข้าง
ถ้าผมลบ c1 จากทั้งสองข้าง, ผมจะได้ค่าตามอำเภอใจ
นี่จะยกเลิกและผมมี c2 ขอโทษที ขอผมนี่คือ c1, พวกนี้จะยกเลิกและ c2 ลบ c1
ค่าคงที่เหล่านี้เป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ
เรายังไม่รู้ว่ามันคืออะไร เราจึงเขียนมันใหม่ได้
อย่างทางซ้ายมือ เรามี y กำลังสองส่วน 2 เท่ากับทางขวามือ ด้าน I จะเขียน e ครึ่งหนึ่ง
ขอผมเขียนมันเป็นสีน้ำเงิน เพราะผมเขียนมันเป็นสีน้ำเงินก่อน 1 ครึ่ง 1 ครึ่ง e กำลังลบ x กำลังสอง แล้วผมจะบอกว่า c c สอง ลบ c หนึ่ง
ขอเรียกมันว่าค
ถ้าคุณหาผลรวมของสองสิ่งนี้ ลองเรียกมันว่า c แล้วตอนนี้มันก็เป็นคำตอบทั่วไป
เราไม่รู้ว่าค่าคงที่นี้คืออะไร และเรายังไม่ได้แก้ไขอย่างชัดเจนสำหรับ y แต่แม้ในรูปแบบนี้ เราสามารถหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะโดยใช้เงื่อนไขเริ่มต้นนี้ และขอผมแยกมันออกว่า นี่ไม่ใช่ส่วนหนึ่ง
นี่ไม่ใช่ส่วนหนึ่งของนิพจน์เดิมตรงนี้ แต่ใช้เงื่อนไขตั้งต้นนี้ มันจึงบอกเราเมื่อ x เป็น 0 y ต้องเท่ากับ 1 เราจึงได้ 1 กำลังสอง ซึ่งเท่ากับ 1
ส่วน 2 เท่ากับ 1 ครึ่ง e ยกกำลังลบ 0 กำลังสอง
ทีนี้ มันก็จะเท่ากับ e กำลัง 0 ก็แค่ 1 มันจะเป็นครึ่งหนึ่งบวก c และแบบนั้น เราก็หาได้ว่าถ้าคุณลบ ครึ่งหนึ่งจากทั้งสองข้าง c เท่ากัน ถึง 0 ดังนั้นความสัมพันธ์ระหว่าง y กับ x ซึ่งผ่านจุดนี้ เราก็สามารถกำหนดให้ c- เท่ากับศูนย์ได้
นั่นจึงเท่ากับศูนย์
นั่นคือศูนย์ตรงนั้น เราจึงเหลือ y กำลังสองส่วน 2 เท่ากับ e กำลังลบ x กำลังสองส่วน 2
ตอนนี้เราคูณทั้งสองข้างด้วย 2 แล้วเราจะได้ y กำลังสอง y กำลังสอง
ขอผมทำอย่างนั้น เราจะได้ y กำลังสอง เท่ากับ เท่ากับ e กำลังลบ x กำลังสอง
ตอนนี้เราหาสแควร์รูททั้งสองข้างได้แล้ว คุณก็พูดได้ ดูก็รู้
Y กำลังสองเท่ากับนี่ ดังนั้น y y อาจเท่ากับบวกหรือลบสแควร์รูทของ e กำลังลบ x กำลังสองของ e กำลังลบ x กำลังสอง แต่พวกมันให้เงื่อนไขเริ่มต้นโดยที่ y เป็นบวกจริง ๆ เราจึง' กำลังหาทางออกเฉพาะที่ผ่านจุดนี้ไป
นั่นหมายความว่า y จะเป็นบวกสแควร์รูท
ถ้านี่คือจุด 0 ลบ 1 เราจะบอกว่า y เป็นลบสแควร์รูท แต่เรารู้ว่า y เป็นบวกสแควร์รูท
มันคือรากหลักตรงนี้
ขอผมทำให้มันเรียบร้อยกว่านี้หน่อย เพื่อเราจะได้กำจัดอ๊ะ
ฉันคิดว่าฉันเขียนด้วยสีดำ ดังนั้นเราจะกำจัดมันตรงนี้ได้
เราจะจัดการกับรากที่สองที่เป็นบวกเท่านั้น หรือเราทำได้ ดังนั้นเราเขียน y เท่ากับ e กำลังลบ x กำลังสองกำลังหนึ่งครึ่ง และนั่น เท่ากับ เท่ากับ e ไปที่ ลบ x กำลังสอง ส่วน 2
นี่ตรงนี้คือหรือ y เท่ากับ y เท่ากับ e กำลังลบ x กำลังสอง ส่วน 2 เป็นคำตอบเฉพาะที่ตรงตามเงื่อนไขตั้งต้นของสมการเชิงอนุพันธ์เดิม
อย่างนั้น เพราะเราสามารถทบทวนได้ เพราะสมการเชิงอนุพันธ์นี้ตั้งขึ้นด้วยวิธีหนึ่ง หรือเพราะเราแยก dy ของ y ออกจาก x ของ dx ได้ในทางพีชคณิต
เราสามารถแยกมันออกมาตามพีชคณิต รวมทั้งสองข้าง และใช้ข้อมูลที่กำหนดในเงื่อนไขเริ่มต้นเพื่อหาทางออกเฉพาะ